樹洞 Tree Hole 2.0

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獨裁的數學公式 — June 8, 2018

獨裁的數學公式

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~ 曹開 · 小數點之歌 · 獨裁的數學公式 ~

人間繁分式裡
他構造一條倒函數
成為 \frac{1}{P-1}
P = People 代表人民
在專制的公式裡
盤鎮於最高層的寶座上
傲視下界威風凜凜
獨一無二就是至尊的象徵

而當 P 值趨向無窮大
他的價碼趨近零
要是 P 值趨向極小
他乃形成負面的數目

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詩的三角形;三角形的詩 — May 27, 2018
「大邊對大角」的三種證明 — May 21, 2018

「大邊對大角」的三種證明

教育部的「國中數學基本學習內容補救教材」裡,和坊間各種版本的數學課本中,都用摺紙的方式來說明如何證明「大邊對大角」和「大角對大邊」觀念,摺紙時造成的痕跡就是證明所需的輔助線,然後佐以三角形全等和內外角關係等性質,瀟灑漂亮的完成證明。

除了摺紙的方式之外,網路上可以到不只一種證明方法,但是證明的套路都是一樣的,大抵都是做輔助線和使用「等邊與等角的關係」以及「三角形外角大於其任一內對角」性質,都可以輕鬆漂亮的完成證明。以下列出三種「大邊對大角」性質的證明方法。

第一種方式,就是課本使用的摺紙法,下圖使用「更」數學的語言,描述摺紙的過程,然後簡述證明的邏輯。如上說明,證明的關鍵在角AHE 是 △HBE 的外角,因為三角形角大於其任一內對角,所以 ∠AHE = ∠ACB ≧ ∠ABC。

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網路上還可以找到另外一個證明方法, 在△FGI 中做輔助線,在線段GI上取一點J,使得GF=GJ,所以△GFJ是個等腰三角形。因為等角對等邊,以及上面已經提過的三角形外角與內對角的關係,同樣可以輕鬆得證。

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之前燒腦系列文章提過在知乎網站上,有篇問答解答了如何以希爾伯特公設體系證明「三角形任兩邊之和必大於第三邊」,證明過程中提到了一個證明「大邊對大角」的方法。如下圖描述,畫輔助線,使得 \triangle KMN 成為一個等腰三角形,然後如同上面證明一樣,運用「等角對等邊」,以及一再提到的「三角形外角與內對角的關係」,簡單得證。

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簡單歸納,上述三個證明,都使用「等角對等邊」,以及「三角形外角與內對角的關係」兩個性質,作為證明的基礎。恰巧都和希爾伯特幾何公設體系的邏輯是相一致的,所以使用起來,格外放心(這是冷笑話,呵呵)。

不摺紙,怎麼證明「大角對大邊」 — May 18, 2018

不摺紙,怎麼證明「大角對大邊」

國中數學課本裡面,提到三角形邊與角的關係,有所謂「等邊對等角」「大邊對大角」和「大角對大邊」幾個重要原則。

幾乎所有可找到的資料,都用等腰三角形來解釋等邊與等角的關係,簡單乾淨明瞭。而「大邊對大角」與「大角對大邊」,則有不同的邏輯推演順序,來解釋這兩個性質。

教育部的「國中數學基本學習內容補救教材」裡面,和坊間各種版本的課本中,都用摺紙的方式來說明「大邊對大角」和「大角對大邊」。用摺紙的方式,雖然不是「非常」嚴謹的證明,但是考慮13、4歲孩子的理解力,不失為一個高招。而且所謂「摺紙」的動作,還是可以拆解為更「數學」的敘述方式,對於程度更佳的孩子,還有一條「往前走」的路,其實蠻好的。

結合摺紙的手法和「三角形外角大於其任一內對角」性質,「大邊對大角」可以很漂亮的完成證明。但是課本裡「大角對大邊」的證明可能會讓有些人感到「不安」,課本的做法如果用比較不白話(自我解嘲一下)的說法,就是在長邊上做中垂線,和對邊交於另外一點 D,然後用三角形全等性質以及「三角形任意兩邊長之和必大於第三邊」的性質完成證明。

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我在燒腦系列的前一篇文章,曾概述過以希爾伯特公設體系證明三角形任一邊必定小於另外兩邊之和的做法。《知乎》網站上有篇問答提到,若是使用希爾伯特(David Hilbert)著作《幾何基礎(Grundlagen der Geometrie)》1中的公設體系,「大邊對大角」和「大角對大邊」是證明「三角形任意兩邊長之和必大於第三邊」的充分條件,用三角形邊長關係證明「大角對大邊」似乎不是最穩妥的作法。

對於國中學生來說,還不需要「操心」公設體系與完備性的關係。真正有天份、興趣、能力的學生,若是真的走上鑽研數學這條路,自然會有 gotcha 的那一刻,想明白那些是應該進一步質疑探索的事情。

不過若是有迴避「不確定事物」傾向,或是有「邏輯」方面的潔癖,對於三角形三邊長之間關係這問題,試試連威翔先生2這個解法吧:

這個問題可以簡述為:若有一\triangle ABC ,已知 ∠ACB > ∠ABC ,證明線段\overline {AB} 長度大於線段\overline {AC} 的長度。

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不過,要怎麼給出一個畫輔助線CD的操作型定義呢?


  1. 英文版 Foundation of Geometry 可在古騰堡計畫網站下載,簡體中文版則可透過各網路書店購買《希尔伯特几何基础》 不知道連先生是不是數學傳播季刊的這位作者 
果然無解 — April 12, 2018