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「大邊對大角」的三種證明 — May 21, 2018

「大邊對大角」的三種證明

教育部的「國中數學基本學習內容補救教材」裡,和坊間各種版本的數學課本中,都用摺紙的方式來說明如何證明「大邊對大角」和「大角對大邊」觀念,摺紙時造成的痕跡就是證明所需的輔助線,然後佐以三角形全等和內外角關係等性質,瀟灑漂亮的完成證明。

除了摺紙的方式之外,網路上可以到不只一種證明方法,但是證明的套路都是一樣的,大抵都是做輔助線和使用「等邊與等角的關係」以及「三角形外角大於其任一內對角」性質,都可以輕鬆漂亮的完成證明。以下列出三種「大邊對大角」性質的證明方法。

第一種方式,就是課本使用的摺紙法,下圖使用「更」數學的語言,描述摺紙的過程,然後簡述證明的邏輯。如上說明,證明的關鍵在角AHE 是 △HBE 的外角,因為三角形角大於其任一內對角,所以 ∠AHE = ∠ACB ≧ ∠ABC。

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網路上還可以找到另外一個證明方法, 在△FGI 中做輔助線,在線段GI上取一點J,使得GF=GJ,所以△GFJ是個等腰三角形。因為等角對等邊,以及上面已經提過的三角形外角與內對角的關係,同樣可以輕鬆得證。

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之前燒腦系列文章提過在知乎網站上,有篇問答解答了如何以希爾伯特公設體系證明「三角形任兩邊之和必大於第三邊」,證明過程中提到了一個證明「大邊對大角」的方法。如下圖描述,畫輔助線,使得 \triangle KMN 成為一個等腰三角形,然後如同上面證明一樣,運用「等角對等邊」,以及一再提到的「三角形外角與內對角的關係」,簡單得證。

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簡單歸納,上述三個證明,都使用「等角對等邊」,以及「三角形外角與內對角的關係」兩個性質,作為證明的基礎。恰巧都和希爾伯特幾何公設體系的邏輯是相一致的,所以使用起來,格外放心(這是冷笑話,呵呵)。

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不摺紙,怎麼證明「大角對大邊」 — May 18, 2018

不摺紙,怎麼證明「大角對大邊」

國中數學課本裡面,提到三角形邊與角的關係,有所謂「等邊對等角」「大邊對大角」和「大角對大邊」幾個重要原則。

幾乎所有可找到的資料,都用等腰三角形來解釋等邊與等角的關係,簡單乾淨明瞭。而「大邊對大角」與「大角對大邊」,則有不同的邏輯推演順序,來解釋這兩個性質。

教育部的「國中數學基本學習內容補救教材」裡面,和坊間各種版本的課本中,都用摺紙的方式來說明「大邊對大角」和「大角對大邊」。用摺紙的方式,雖然不是「非常」嚴謹的證明,但是考慮13、4歲孩子的理解力,不失為一個高招。而且所謂「摺紙」的動作,還是可以拆解為更「數學」的敘述方式,對於程度更佳的孩子,還有一條「往前走」的路,其實蠻好的。

結合摺紙的手法和「三角形外角大於其任一內對角」性質,「大邊對大角」可以很漂亮的完成證明。但是課本裡「大角對大邊」的證明可能會讓有些人感到「不安」,課本的做法如果用比較不白話(自我解嘲一下)的說法,就是在長邊上做中垂線,和對邊交於另外一點 D,然後用三角形全等性質以及「三角形任意兩邊長之和必大於第三邊」的性質完成證明。

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我在燒腦系列的前一篇文章,曾概述過以希爾伯特公設體系證明三角形任一邊必定小於另外兩邊之和的做法。《知乎》網站上有篇問答提到,若是使用希爾伯特(David Hilbert)著作《幾何基礎(Grundlagen der Geometrie)》1中的公設體系,「大邊對大角」和「大角對大邊」是證明「三角形任意兩邊長之和必大於第三邊」的充分條件,用三角形邊長關係證明「大角對大邊」似乎不是最穩妥的作法。

對於國中學生來說,還不需要「操心」公設體系與完備性的關係。真正有天份、興趣、能力的學生,若是真的走上鑽研數學這條路,自然會有 gotcha 的那一刻,想明白那些是應該進一步質疑探索的事情。

不過若是有迴避「不確定事物」傾向,或是有「邏輯」方面的潔癖,對於三角形三邊長之間關係這問題,試試連威翔先生2這個解法吧:

這個問題可以簡述為:若有一\triangle ABC ,已知 ∠ACB > ∠ABC ,證明線段\overline {AB} 長度大於線段\overline {AC} 的長度。

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不過,要怎麼給出一個畫輔助線CD的操作型定義呢?


  1. 英文版 Foundation of Geometry 可在古騰堡計畫網站下載,簡體中文版則可透過各網路書店購買《希尔伯特几何基础》 不知道連先生是不是數學傳播季刊的這位作者 
復刻百分百文藝女孩 — April 22, 2018

復刻百分百文藝女孩

趁著週末 kobo 打折,挑幾本睡前讀物,在看到「(我們絕對不是)來亂(的)」內容預覽的一段文字之後,二話不說決定下單….

我也曾臨摹她們,讀了羅蘭巴特、德希達,還買了一堆至今沒拆膠膜的中英文對照理論書。後來終於出糗了,在聽到誰和文青朋友說超喜歡傅柯的時候,我去買了雙愛迪達的復刻版球鞋,當成生日驚喜….

再說尋呼機情意結 — January 15, 2018

再說尋呼機情意結

之前看騰訊傳裡面提到馬化騰從走出尋呼機公司走出自己的路,而且算算年頭,那時我們和 Pony 先生所在的公司公司可是直接競爭對手啊。當時只是一個小小工程師,只知道按交代幹活,對外面的世界一無所知,只是對初次踏上大陸土地趕到興奮和戒懼。直到二十年後,才陸續看到一些文字,講當年的種種。這才知道,當時自己做的事情,在大浪淘沙的大環境裡,究竟有什麼意義。

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書裡面還提到深圳大學因為機緣之便,那幾年的學生素質超過以往平均,還有那時的就業市場情況,剛好那段時間我在深圳郵電局(那會兒還叫郵電局,郵、電還沒分家)做案子,和一群深圳大學畢業生交手,把書中敘述和個人經驗相參照,感覺蠻奇妙的。

個人有個人的緣法,馬化騰成了 BAT 巨頭之一的領頭羊,我則繼續做為一個小馬鈴薯。

前幾個禮拜,整理老房子,從書房裡面搜出一個當年出差時隨身攜帶的筆記本,裡面夾著幾張和案子有關的文件,是那時嶺南地區某個尋呼網的頻點和號碼分配規劃,我們要按照文件內容調整程式裡面的參數。

看到這泛黃的薄薄一張紙,心情不是幾行文字可以盡述。還是老話一句,看圖不說話,寒天飲冰水,況味自知

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天堂百科第六六六頁 — December 7, 2017